极限

数列极限

定义

在一个数列中，随着项数 $n$ 增大，数列的值总是越来越接近某个常数 $A$，但永远无法到达常数 $A$，该常数 $A$ 叫做数列的极限，也称该数列收敛于 $A$，记作：

$\lim\limits_{n\to+\infty}a_n=A$

该表达式中，$\lim$ 表示“极限”。下方的 $n\to+\infin$ 表示“$n$ 趋近于 $+\infin$”，“趋近于”的意思是“无限接近，但达不到”。

基本极限

1. $\lim\limits_{n\to+\infin}q^n=0(\left|q\right|<1)$

2. $\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n=0$

基本运算

法则

设 $A$，$B$，$C$ 为常数，若 $\lim\limits_{n\to+\infin}a_n=A$，$\lim\limits_{n\to+\infin}b_n=B$，则有：

1. $\lim\limits_{n\to+\infin}(a_n\pm b_n)=\lim\limits_{n\to+\infin}a_n\pm \lim\limits_{n\to+\infin}b_n=A\pm B$

2. $\lim\limits_{n\to\infin}(a_n\cdot b_n)=\lim\limits_{n\to+\infin}a_n\cdot \lim\limits_{n\to+\infin}b_n=A\cdot B$

3. $\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{\lim\limits_{n\to+\infin}a_n}{\lim\limits_{n\to+\infin}b_n}=\dfrac{A}{B}(B\ne 0)$

4. $\lim\limits_{n\to+\infin}(a_n\pm C)=\lim\limits_{n\to+\infin}a_n\pm C=A\pm C$

5. $\lim\limits_{n\to+\infin}(a_n\cdot C)=\lim\limits_{n\to+\infin}a_n\cdot C=A\times C$

例题

求极限 $\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac{4n^4-2n-1}{6n^4+3n^2+1}$ 的值。

1. 上下同除 $n^4$：

$\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac{4n^4-2n-1}{6n^4+3n^2+1}=\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac{4-\dfrac2{n^3}-\dfrac1{n^4}}{6+\dfrac3{n^2}+\dfrac1{n^4}}$

2. 利用极限的性质转换为关于 $\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n$ 的表达式：

$\begin{aligned}\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac{4-\dfrac2{n^3}-\dfrac1{n^4}}{6+\dfrac3{n^2}+\dfrac1{n^4}}&=\dfrac{4-\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac2{n^3}-\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac1{n^4}}{6+\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac3{n^2}+\lim \limits_{n\to+\infin}\dfrac1{n^4}}\\&=\dfrac{4-2(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^3-(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^4}{6+3(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^2+(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^4}\end{aligned}$

3. 将基本极限 $\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n=0$ 代入：

$\dfrac{4-2(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^3-(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^4}{6+3(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^2+(\lim\limits_{n\to+\infin}\dfrac1n)^4}=\dfrac46=\dfrac23$

函数极限

定义

对于函数 $y=f(x)$，如果当 $x$ 的取值非常接近 $x_0$ 时，$y$ 的取值非常接近 $y_0$，就称 $y_0$ 是 $x$ 趋近于 $x_0$ 时函数 $f(x)$ 的极限。记作：

$\lim \limits_{x\to x_0}f(x)=y_0$

充要条件

函数在它上面一点处有极限的充要条件为：函数在该点处的左极限等于右极限，与函数在该点处的实际取值无关。

解释

函数 $1$：$f(x)=-x^2+4$

甲乙两人沿函数 $f(x)=-x^2+4$ 图像运动，分别从左向右接近 $x=-2$ 和从右向左接近 $x=-2$ 时，预期的结果相同（都预计自己抵达 $x=-2$ 时，纵坐标应当是 $y=0$）。

这种情况，叫做函数 $f(x)=-x^2+4$ 在 $x=-2$ 处有极限，且极限值 $\lim \limits_{x\to-2} f(x)=0$ 与函数值 $f(-2)=0$ 相等。

其中从右向左接近 $x=-2$ 的甲，预期的函数值为 $0$，记作 $\lim \limits_{x\to-2^-} f(x)=0$。极限符号 $\lim$ 下方的 $-2^-$ 右上角的负号表示从 $-2$ 的负方向（左侧）接近，叫做函数 $f(x)=-x^2+4$ 在 $x=-2$ 处的左极限。

同样的，从左向右接近 $x=-2$ 的甲，预期的函数值为 $0$，记作 $\lim \limits_{x\to-2^+} f(x)=0$。极限符号 $\lim$ 下方的 $-2^+$ 右上角的正号表示从 $-2$ 的正方向（右侧）接近，叫做函数 $f(x)=-x^2+4$ 在 $x=-2$ 处的右极限。

函数在它上面一点处有极限的充要条件为：函数在该点处的左极限等于右极限。基本函数在图像连续没有断开的位置都满足该特点。

函数 $2$：$f(x)=\begin{cases}-x^2+4\ &x\ne-2\\2&x=-2\end{cases}$

虽然函数的实际取值 $f(-2)=2$，但在 $x=-2$ 左右两侧预期仍然都是：

$\lim \limits_{x\to-2^-} f(x)=\lim \limits_{x\to-2^+} f(x)=0$

此时仍称函数 $f(x)$ 在 $x=-2$ 处有极限，极限为 $0$，即 $\lim \limits_{x\to-2} f(x)=0$。

这反映了一个重要的事实（约定）：函数在某点处的极限，只与函数在该点附近的变化趋势有关，与在该点处的实际取值无关。

基本运算

设 $A$、$B$、$C$ 为常数，$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\to x_0}g(x)=B$，可得：

1. $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\pm \lim\limits_{x\to x_0} g(x)=A\pm B$

2. $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\lim\limits_{x\to x_0} f(x)\cdot \lim\limits_{x\to x_0} g(x)=A\cdot B$

3. $\lim\limits_{x\to x_0}\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)=\dfrac{\lim\limits_{x\to x_0} f(x)}{\lim\limits_{x\to x_0} g(x)}=\dfrac{A}{B}(B\ne 0)$

4. $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\pm C)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\pm C=A\pm C$

5. $\lim\limits_{x\to x_0}(f(x)\cdot C)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)\cdot C=A\cdot C$