集合与逻辑

集合

符号

• $\varnothing$：空集。
• $\in$：属于。
• $\notin$：不属于。
• $\N$：自然数集。
• $\N_+$ 或 $\N^*$：正整数集。
• $\Z$：整数集。
• $Q$：有理数集。
• $\R$：实数集。

描述法

表示由数字构成的集合：

$\{x\in A|P(x)\}$

如果 $A=\R$，或者 $P(x)$ 中对 $x$ 所在的数域进行了明确，则可以简写成：

$\{x|P(x)\}$

例子：

$\{x\in \N_+|2\le x\le8\}\Longleftrightarrow x\in\{2,3,4,5,6,7,8\}.$

集合之间关系

1. $A$ 中所有元素都属于 $B$，记作：

   • $A\subseteq B\Longleftrightarrow B\supseteq A$

   • 此时称集合 $A$ 包含于集合 $B$，$A$ 是 $B$ 的子集。

2. $A$ 中所有元素都属于 $B$，且 $B$ 至少有一个元素不属于 $A$，记作：

   • $A\subsetneqq B\Longleftrightarrow B\supsetneqq A$

   • 此时称集合 $A$ 真包含于集合 $B$，$A$ 是 $B$ 的真子集。

3. $A$ 中所有元素都属于 $B$，$B$ 中所有元素都属于 $A$，记 $A$ 和 $B$ 的元素相同，记作：

   • $A\subseteq B,B\subseteq A\Longleftrightarrow A=B$

   • 此时称集合 $A$ 等于 集合 $B$。

4. 如果 $A$ 中有 $B$ 中没有的元素，记作：

   • $A\not\subset B$

   • 此时称集合 $A$ 不包含于集合 $B$。

集合基本运算

暂略。

逻辑

充分条件和必要条件

基本定义

1. 如果“若 $p$，则 $q$”是真命题，即由条件 $p$ 可以推出结论 $q$，记作：

   • $p\Rightarrow q$

   • 此时称 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。

2. 如果“若 $p$，则 $q$”是假命题，即由条件 $p$ 不能推出结论 $q$，记作：

   • $p\nRightarrow q$

   • 此时称 $p$ 不是 $q$ 的充分条件，$q$ 不是 $p$ 的必要条件。

充要条件

如果“若 $p$，则 $q$”与它的逆命题“若 $q$，则 $p$”都是真命题。
即既有 $p\Rightarrow q$，又有 $q\Rightarrow p$ 时：

• $p\Leftrightarrow q$

• 此时称 $p$ 是 $q$ 的充分必要条件，简称充要条件，也称$p$ 与 $q$ 等价。

全称量词和存在量词

全称量词

如“全部”“所有”“任意”等这类词语叫做全称量词，用符号 $\forall$ 表示。全称量词命题的一般形式为：

$\forall x\in M,p(x)$

存在量词

如“存在”“至少有一个”等这类词语叫做存在量词，用符号 $\exists$ 表示。全称量词命题的一般形式为：

$\exists x\in M,p(x)$

否定转换

• $\forall x\in M,p(x)$ 的否定：

$\exists x\in M,\lnot p(x)$

• $\exists x\in M,p(x)$ 的否定：

$\forall x\in M,\lnot p(x)$